Buenas, pues depende del tipo de navegación.
Cuando estuve desplegado estuvimos casi 21 días sin tocar puerto y para compensar, paramos 5 días enteros en El Pireo (Grecia).
Lo normal es parar entre 2 y 4 días de media. Por ejemplo, atracar el viernes en torno a las 12 00 y salir el lunes a las 08 00.
Si, te puedes ir a un hotel o alquilar un Airbnb en el 99% de los casos. La única excepción es que sea una parada muy breve para repostar y cargar provisiones, por ejemplo atracar un día a media tarde y salir al día siguiente a primera hora de la mañana, ahi es muy probable que no dejen dormir fuera por eficiencia logística.
Respecto al qué hacer, aunque es muy personal, te puedo decir mi punto de vista.
Durante un despliegue (misión) recomiendo encarecidamente coger un hotel o piso para desconectar de tanto barco y poder levantarte sin horarios, estar sin uniforme, comer lo que tú quieres y no cagar en el mismo WC que 50 tíos. También en los puertos suele pasar una cosa, y es que si en esa ciudad hay una discoteca famosa, es muy probable que el 75% de la dotación del barco termine ahí. Esto quiere decir que estás de fiesta con tus jefes directos e indirectos con todo lo que eso conlleva, para que lo tengas en cuenta. A mí, desde luego, no me ayudaba a desconectar nada y por eso dejé de salir. En mi caso aprovechaba para realizar alguna excursión, visitar los monumentos de turno, ir a restaurantes de comida local (no un McDonals) y en definitiva aprovechar la oportunidad de visitar sitios interesantes ahorrandote el desplazamiento.
También como curiosidad, si el puerto en el que se para está relativamente cerca de una ciudad turística, el oficial de Intendencia del barco solía hacer gestiones para conseguir autobuses de ida y vuelta a la ciudad para la dotación. Por ejemplo, paramos en Southampton y nos pusieron dos buses al día a Londres, que está a 2 horas.
Luego hay otros puertos que son más rutinarios (si entras en Marina sabrás cuales son) que se para en casi todos los despliegues por su importancia estratégica para repostar y coincidir con otros barcos de la OTAN. En esos las paradas son más breves, de uno o dos días. Esos dias mucha gente se va del barco, pero yo no solía pernoctar fuera y me quedaba en el barco a mi rollo, o salía a correr un poco por el muelle, ver una peli, etc. Se agradece de vez en cuando menos bullicio, menos colas para comer, mejor cobertura, etc en definitiva aunque te quedes en el barco es otro rollo.
Mi consejo final es que intentes conocer a personas con las que conectes y hagáis planes juntos, que sean variados (no sólo beber cerveza) y desconectar del resto.
Con respecto al gimnasio, normalmente se hace de forma individual pero durante las misiones se hacían clases grupales para todos. Los gimnasios en las F100 están bastante bien, suele haber uno de cardio con bicicletas y cintas y otro de musculación. En las F80 no lo sé, aunque vi que en la Santa María tenían un gimnasio improvisado en el hangar del helicóptero. Además puedes usar la imaginación y hacer CrossFit con cosas del barco.
Cualquier duda me dices.